Nurbs-Eigenschaften

Inhalt

NURBS-EIGENSCHAFTEN

Steuerscheitelpunkte,
Kontrollpunkte, CV

Kontrollpunkte sind koeffizienten (multiplikatoren) von NURBS-basisfunktionen.
kontrollpunkt = kontrollscheitelpunkt = steuerpunkt = CV (Control Vertex) = steuerscheitelpunkt = pol
Kurven und flächen können durch verschiebung von kontroll- und bearbeitungspunkten bearbeit werden.
Jedem kontrollpunkt ist eine wichtung zugeordnet. Wenn alle die gleiche wichtung haben, ist die kurve rational (kreise, ellipsen).
Die CVs steuern das objekt lokal, d. h. das verschieben eines CVs oder das ändern seines gewichts beeinflußt das objekt nicht über die benachbarten CVs hinaus.
Zwei übereinanderliegende CVs schärfen die krümmung. Drei übereinanderliegende CVs erstellen eine winklige spitze in der kurve, ohne sie zu unterbrechen (im unterschied zu bei Bézierkurven). Diese eigenschaft von NURBS-kurven wird als einflußverstärkung bezeichnet. Praktisch wird in diesem bereich der kurve der einfluß der zusätzlichen ein oder zwei CVs kombiniert.
Durch verschieben eines der CVs vom anderen CV weg erhöhen Sie die kontinuitätsebene der kurve, sie wird regelmässiger.
Durch das 'filtern' einer NURBS-kurve werden mehr CVs hinzugefügt. Durch filtern erhalten Sie feinere steuerungsmöglichkeiten über die form der kurve. Wenn Sie eine NURBS-kurve filtern, behält die software die originalkrümmung bei. Anders gesagt, ändert sich die form der kurve nicht, aber die benachbarten kontrollpunkte rücken vom hinzugefügten punkt ab. Der grund hierfür ist die einflußverstärkung: Wenn die benachbarten CVs nicht abrücken würden, würde der zuwachs an CVs eine schärfere krümmung der kurve bewirken.

Punktkurve,
Bearbeitungspunkt

Sie können auf die gleiche weise mit punktkurven und punktflächen arbeiten wie mit CV-kurven und CV-flächen.
Die punkte, die diese objekte steuern, müssen auf der kurve oder fläche liegen. Es gibt kein steuergitter und keine gewichtssteuerung. Hierbei handelt es sich um eine einfachere benutzeroberfläche, die häufig aufgrund des bedienkomforts bevorzugt wird. Mit punktgestützten objekten können Sie außerdem kurven erstellen, die auf abhängigen (beschränkten) punkten basieren, und sie anschließend zum erstellen abhängiger flächen verwenden.
Sie können sich punktkurven und -flächen als eine schnittstelle zu CV-kurven und CV-flächen vorstellen, die die vollständig definierten NURBS-Objekte sind. Die zugrundeliegende darstellung der kurve bzw. fläche wird weiterhin mit hilfe von CVs erstellt.
Sie können sich eine punktkurve oder -fläche auch als von ihren punkten abhängig vorstellen. Mit hilfe der schaltfläche „kurve umwandeln” können Sie eine punktkurve oder -fläche in eine CV-kurve bzw. -fläche ändern und umgekehrt (3Dsmax). In Rhino: "Bearbeitungspunkte anzeigen" oder "Kontrollpunkte anzeigen".

CV-fläche, fläche mit bearbeitungspunkten, 30KB

Grad

Der grad wird als positive ganzzahl angegeben.
grad 1 = polylinien, linear
grad 2 = kreis, quadratisch
grad 3 = freiformkurven, kubisch
grad 5 = quintisch
ordnung der kurve = grad + 1
Alle kurven haben einen grad. Der grad einer kurve ist der höchste exponent in der zum darstellen der kurve verwendeten gleichung. Eine lineare gleichung ist eine gleichung ersten grades, eine quadratische gleichung ist eine gleichung zweiten grades. NURBS-kurven werden normalerweise durch kubische gleichungen repräsentiert und sind somit gleichungen dritten grades. Höhere grade sind möglich, aber normalerweise nicht nötig.
Eine kurve höheren grades ist steifer in dem sinn, dass die kontrollpunkte weiter bewegt werden müssen um die kurve in gleichem masse zu verändern als eine kurve niedrigeren grades. Dementprechend schmiegt sich eine kurve niedrigeren grades näher an die kontrollpunkte.
Kurven niedrigeren grades brauchen weniger rechenleistung. Bei höheren graden besteht die gefahr der inkompatibilität zu andern programmen.
Bei Bézierkurven wird der grad auf (n-1) eingabepunkte gesetzt (min 2pte, max 25pte).
Bei B-splines ist der grad unabhängig von den eingabepunkten; es sollten aber mindestens 4 punkte eingegeben werden, da diese ja kubischen grades sind. (Rhino: max 32PTE, unigraphics: max 24pte, 3Dsmax: max 20pte)
Kurven sind außerdem durch kontinuität gekennzeichnet. Eine kontinuierliche kurve ist ununterbrochen. Es gibt verschiedene kontinuitätsstufen.
Eine kurve mit einem winkel (einer spitze) ist C0-kontinuierlich, d. h. die kurve ist ununterbrochen, hat an der spitze aber keine ableitung (Drei übereinanderliegende CVs erstellen eine winklige spitze in der kurve, keine ecke, bild links).
Eine kurve ohne solche spitzen, deren krümmung sich aber ändert, ist C1-kontinuierlich. Ihre ableitung ist auch kontinuierlich, ihre zweite ableitung hingegen nicht, (bild mitte).
Eine kurve mit ununterbrochener, nicht veränderter krümmung hat die kontinuitätsstufe C2, bild rechts (der unterschied ist nur geringfügig, aber die rechte seite ist nicht halbkreisförmig und verschmilzt mit der linken). Sowohl ihre erste als auch ihre zweite ableitung sind ebenfalls kontinuierlich.
Eine kurve kann noch höhere ebenen von kontinuität aufweisen, für computergestütztes modellieren reichen diese drei jedoch völlig aus. Mit dem bloßen auge ist der unterschied zwischen einer kurve der kontinuitätskurve C2 und einer mit höherer kontinuität nicht erkennbar.
Kontinuität und grad sind voneinander abhängig. Eine gleichung dritten grades kann eine kurve der kontinuitätsstufe C2 generieren. Daher werden kurven höheren grads bei der NURBS-modellierung im allgemeinen nicht benötigt. Kurven höheren grads sind zudem numerisch weniger stabil; daher wird ihre verwendung nicht empfohlen.
Verschiedene segmente einer NURBS-kurve können unterschiedliche ebenen von kontinuität aufweisen. Sie können die kontinuitätsebene insbesondere durch das platzieren von CVs am gleichen ort oder sehr nah beieinander senken.

Knoten

Da sie mathematisch generiert werden, verfügen NURBS-objekte zusätzlich zum dreidimensionalen geometrischen raum, in dem sie angezeigt werden, über einen parameterraum. Insbesondere gibt eine gruppe von werten, die als knoten bezeichnet werden, den einflußbereich jedes steuerscheitelpunkts (CV) auf der kurve oder fläche an.
Knoten sind im dreidimensionalen raum unsichtbar, und Sie können sie nicht direkt manipulieren. Gelegentlich beeinflußt ihr verhalten jedoch die darstellungsweise des NURBS-objekts.
Der parameterraum ist eindimensional für kurven, die über eine einzige topologische U-dimension verfügen, obwohl sie geometrisch im dreidimensionalen raum bestehen. Flächen besitzen zwei dimensionen im parameterraum, die als U und V bezeichnet werden.

Nurbsflächen

NURBS-flächen haben im wesentlichen die gleichen eigenschaften wie NURBS-kurven, die von einem eindimensionalen parameterraum auf zwei dimensionen erweitert werden.
Sie können flächen auch mit hilfe von polygonnetzen oder patches modellieren. Im vergleich zu NURBS-flächen haben netze und patches folgende nachteile:
Durch die verwendung von polygonen kann es schwieriger werden, komplizierte kurvenflächen zu erstellen.
Da netze facettiert sind, werden an den kanten der gerenderten objekte facetten angezeigt. Sie benötigen eine große anzahl kleiner flächen, um eine glatte kurvenkante rendern zu können.
Zur bildschirmanzeige werden NURBS immer in netze umgewandelt. Beim export als *.stl werden diese darstellungsnetze verwendet. Nur beim export als *.igs werden echte freiformflächen exportiert.
Flächen: Es gibt zwei arten von NURBS-flächen. Eine punktfläche wird durch punkte gesteuert, die immer auf der fläche angeordnet sind. Eine CV-pläche wird durch CVs (Steuerscheitelpunkte) gesteuert. CVs liegen nicht auf der fläche, sondern bilden ein steuergitter, das die fläche umgibt.
Ein NURBS-modell kann aus einer ansammlung von mehreren NURBS-unterobjekten bestehen. Zum beispiel kann ein NURBS-objekt zwei flächen enthalten, die im raum separat sind. Diese werden wieder durch punkt-unterobjekte gesteuert.
Punktflächen und punktkurven haben punkt-unterobjekte. Sie können zudem separate punkt-unterobjekte erstellen, die nicht zu einer fläche oder kurve gehören.
CV-flächen und CV-kurven weisen kontrollpunkte als unterobjekte auf. Im gegensatz zu punkten sind CVs immer Teil einer fläche oder kurve.
Bei unterobjekten kann es sich um abhängige unterobjekte handeln, deren geometrie mit der geometrie anderer unterobjekte zusammenhängt. Der vorteil ist, dass ihre geometrie nachgeführt wird, wenn sich die übergeordneten objekte verändern.
NURBS-flächen haben immer eine rechteckige topologie. Reihen von flächenpunkten und parametrisierung sind in zwei richtungen organisiert, grundsätzlich quer zueinander. Das ist nicht immer offensichtlich bei der erzeugung und bearbeitung einer fläche. Sich dieser struktur zu erinnern, ist bei der entscheidung der strategien, die zur geometrieerzeugung und -bearbeitung verwendet werden sollen, hilfreich.

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Steuerscheitelpunkte, Kontrollpunkte, CV	Kontrollpunkte sind koeffizienten (multiplikatoren) von NURBS-basisfunktionen. kontrollpunkt = kontrollscheitelpunkt = steuerpunkt = CV (Control Vertex) = steuerscheitelpunkt = pol Kurven und flächen können durch verschiebung von kontroll- und bearbeitungspunkten bearbeit werden. Jedem kontrollpunkt ist eine wichtung zugeordnet. Wenn alle die gleiche wichtung haben, ist die kurve rational (kreise, ellipsen). Die CVs steuern das objekt lokal, d. h. das verschieben eines CVs oder das ändern seines gewichts beeinflußt das objekt nicht über die benachbarten CVs hinaus. Zwei übereinanderliegende CVs schärfen die krümmung. Drei übereinanderliegende CVs erstellen eine winklige spitze in der kurve, ohne sie zu unterbrechen (im unterschied zu bei Bézierkurven). Diese eigenschaft von NURBS-kurven wird als einflußverstärkung bezeichnet. Praktisch wird in diesem bereich der kurve der einfluß der zusätzlichen ein oder zwei CVs kombiniert. Durch verschieben eines der CVs vom anderen CV weg erhöhen Sie die kontinuitätsebene der kurve, sie wird regelmässiger. Durch das 'filtern' einer NURBS-kurve werden mehr CVs hinzugefügt. Durch filtern erhalten Sie feinere steuerungsmöglichkeiten über die form der kurve. Wenn Sie eine NURBS-kurve filtern, behält die software die originalkrümmung bei. Anders gesagt, ändert sich die form der kurve nicht, aber die benachbarten kontrollpunkte rücken vom hinzugefügten punkt ab. Der grund hierfür ist die einflußverstärkung: Wenn die benachbarten CVs nicht abrücken würden, würde der zuwachs an CVs eine schärfere krümmung der kurve bewirken.
Punktkurve, Bearbeitungspunkt	Sie können auf die gleiche weise mit punktkurven und punktflächen arbeiten wie mit CV-kurven und CV-flächen. Die punkte, die diese objekte steuern, müssen auf der kurve oder fläche liegen. Es gibt kein steuergitter und keine gewichtssteuerung. Hierbei handelt es sich um eine einfachere benutzeroberfläche, die häufig aufgrund des bedienkomforts bevorzugt wird. Mit punktgestützten objekten können Sie außerdem kurven erstellen, die auf abhängigen (beschränkten) punkten basieren, und sie anschließend zum erstellen abhängiger flächen verwenden. Sie können sich punktkurven und -flächen als eine schnittstelle zu CV-kurven und CV-flächen vorstellen, die die vollständig definierten NURBS-Objekte sind. Die zugrundeliegende darstellung der kurve bzw. fläche wird weiterhin mit hilfe von CVs erstellt. Sie können sich eine punktkurve oder -fläche auch als von ihren punkten abhängig vorstellen. Mit hilfe der schaltfläche „kurve umwandeln” können Sie eine punktkurve oder -fläche in eine CV-kurve bzw. -fläche ändern und umgekehrt (3Dsmax). In Rhino: "Bearbeitungspunkte anzeigen" oder "Kontrollpunkte anzeigen".
Grad	Der grad wird als positive ganzzahl angegeben. grad 1 = polylinien, linear grad 2 = kreis, quadratisch grad 3 = freiformkurven, kubisch grad 5 = quintisch ordnung der kurve = grad + 1 Alle kurven haben einen grad. Der grad einer kurve ist der höchste exponent in der zum darstellen der kurve verwendeten gleichung. Eine lineare gleichung ist eine gleichung ersten grades, eine quadratische gleichung ist eine gleichung zweiten grades. NURBS-kurven werden normalerweise durch kubische gleichungen repräsentiert und sind somit gleichungen dritten grades. Höhere grade sind möglich, aber normalerweise nicht nötig. Eine kurve höheren grades ist steifer in dem sinn, dass die kontrollpunkte weiter bewegt werden müssen um die kurve in gleichem masse zu verändern als eine kurve niedrigeren grades. Dementprechend schmiegt sich eine kurve niedrigeren grades näher an die kontrollpunkte. Kurven niedrigeren grades brauchen weniger rechenleistung. Bei höheren graden besteht die gefahr der inkompatibilität zu andern programmen. Bei Bézierkurven wird der grad auf (n-1) eingabepunkte gesetzt (min 2pte, max 25pte). Bei B-splines ist der grad unabhängig von den eingabepunkten; es sollten aber mindestens 4 punkte eingegeben werden, da diese ja kubischen grades sind. (Rhino: max 32PTE, unigraphics: max 24pte, 3Dsmax: max 20pte) Kurven sind außerdem durch kontinuität gekennzeichnet. Eine kontinuierliche kurve ist ununterbrochen. Es gibt verschiedene kontinuitätsstufen. Eine kurve mit einem winkel (einer spitze) ist C0-kontinuierlich, d. h. die kurve ist ununterbrochen, hat an der spitze aber keine ableitung (Drei übereinanderliegende CVs erstellen eine winklige spitze in der kurve, keine ecke, bild links). Eine kurve ohne solche spitzen, deren krümmung sich aber ändert, ist C1-kontinuierlich. Ihre ableitung ist auch kontinuierlich, ihre zweite ableitung hingegen nicht, (bild mitte). Eine kurve mit ununterbrochener, nicht veränderter krümmung hat die kontinuitätsstufe C2, bild rechts (der unterschied ist nur geringfügig, aber die rechte seite ist nicht halbkreisförmig und verschmilzt mit der linken). Sowohl ihre erste als auch ihre zweite ableitung sind ebenfalls kontinuierlich. Eine kurve kann noch höhere ebenen von kontinuität aufweisen, für computergestütztes modellieren reichen diese drei jedoch völlig aus. Mit dem bloßen auge ist der unterschied zwischen einer kurve der kontinuitätskurve C2 und einer mit höherer kontinuität nicht erkennbar. Kontinuität und grad sind voneinander abhängig. Eine gleichung dritten grades kann eine kurve der kontinuitätsstufe C2 generieren. Daher werden kurven höheren grads bei der NURBS-modellierung im allgemeinen nicht benötigt. Kurven höheren grads sind zudem numerisch weniger stabil; daher wird ihre verwendung nicht empfohlen. Verschiedene segmente einer NURBS-kurve können unterschiedliche ebenen von kontinuität aufweisen. Sie können die kontinuitätsebene insbesondere durch das platzieren von CVs am gleichen ort oder sehr nah beieinander senken.
Knoten	Da sie mathematisch generiert werden, verfügen NURBS-objekte zusätzlich zum dreidimensionalen geometrischen raum, in dem sie angezeigt werden, über einen parameterraum. Insbesondere gibt eine gruppe von werten, die als knoten bezeichnet werden, den einflußbereich jedes steuerscheitelpunkts (CV) auf der kurve oder fläche an. Knoten sind im dreidimensionalen raum unsichtbar, und Sie können sie nicht direkt manipulieren. Gelegentlich beeinflußt ihr verhalten jedoch die darstellungsweise des NURBS-objekts. Der parameterraum ist eindimensional für kurven, die über eine einzige topologische U-dimension verfügen, obwohl sie geometrisch im dreidimensionalen raum bestehen. Flächen besitzen zwei dimensionen im parameterraum, die als U und V bezeichnet werden.
Nurbsflächen	NURBS-flächen haben im wesentlichen die gleichen eigenschaften wie NURBS-kurven, die von einem eindimensionalen parameterraum auf zwei dimensionen erweitert werden. Sie können flächen auch mit hilfe von polygonnetzen oder patches modellieren. Im vergleich zu NURBS-flächen haben netze und patches folgende nachteile: Durch die verwendung von polygonen kann es schwieriger werden, komplizierte kurvenflächen zu erstellen. Da netze facettiert sind, werden an den kanten der gerenderten objekte facetten angezeigt. Sie benötigen eine große anzahl kleiner flächen, um eine glatte kurvenkante rendern zu können. Zur bildschirmanzeige werden NURBS immer in netze umgewandelt. Beim export als .stl werden diese darstellungsnetze verwendet. Nur beim export als .igs werden echte freiformflächen exportiert. Flächen: Es gibt zwei arten von NURBS-flächen. Eine punktfläche wird durch punkte gesteuert, die immer auf der fläche angeordnet sind. Eine CV-pläche wird durch CVs (Steuerscheitelpunkte) gesteuert. CVs liegen nicht auf der fläche, sondern bilden ein steuergitter, das die fläche umgibt. Ein NURBS-modell kann aus einer ansammlung von mehreren NURBS-unterobjekten bestehen. Zum beispiel kann ein NURBS-objekt zwei flächen enthalten, die im raum separat sind. Diese werden wieder durch punkt-unterobjekte gesteuert. Punktflächen und punktkurven haben punkt-unterobjekte. Sie können zudem separate punkt-unterobjekte erstellen, die nicht zu einer fläche oder kurve gehören. CV-flächen und CV-kurven weisen kontrollpunkte als unterobjekte auf. Im gegensatz zu punkten sind CVs immer Teil einer fläche oder kurve. Bei unterobjekten kann es sich um abhängige unterobjekte handeln, deren geometrie mit der geometrie anderer unterobjekte zusammenhängt. Der vorteil ist, dass ihre geometrie nachgeführt wird, wenn sich die übergeordneten objekte verändern. NURBS-flächen haben immer eine rechteckige topologie. Reihen von flächenpunkten und parametrisierung sind in zwei richtungen organisiert, grundsätzlich quer zueinander. Das ist nicht immer offensichtlich bei der erzeugung und bearbeitung einer fläche. Sich dieser struktur zu erinnern, ist bei der entscheidung der strategien, die zur geometrieerzeugung und -bearbeitung verwendet werden sollen, hilfreich.
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