Nurbs-Konzept

Ein spline ist eine geglättete kurve, die durch ihre kontrollpunkte (poles, steuerpunkte, steuerscheitelpunkte, CV = Control Vertex, mz. Vertices) definiert ist und die zusätzlich eingeschränkt werden kann.
Splines haben eine richtung, dh einen anfang und ein ende. Diese lassen sich umkehren.
Ein B-spline (Basis-spline) ist eine kurve, die aus mehreren segmenten besteht und durch punkte bestimmt wird. Man könnte ein spline als eine aneinanderreihung von Bézierkurven betrachten und die Bézierkurve als spezielle form einer B-spline.
Ein B-spline ist eine möglichkeit, eine zwischen drei oder mehr punkten interpolierte kurve zu erstellen.
B-spline ist ein spline-typ, der von sogenannten basisfunktionen generiert wird. Die eigenheit von B-splines liegt darin, daß sich die kontrollpunkte eines B-splines nur auf ihren lokalen bereich der kurve oder fläche auswirken.
Bézier-kurven wurden von P. Bézier für die computergestützte modellierung im automobildesign entwickelt. Sie sind ein spezielle version von B-splines.
Eine Bézier-kurve ist ein basis-spline, das aus einem segment besteht und über zwei kontrollpunkte gesteurt wird.
Bézierpunkte haben anfasser, die sich symmetrisch oder einzeln durch klicken und ziehen des 'anfassers' beeinflussen lassen: Die länge des anfassers beeinflusst die kraft und die stellung des anfassers die richtung der tangentialen einflusses.
NURBS ist ein akronym für Non-Uniform Rational Basis-Splines, d.h. nicht gleichförmige rationale B-splines. Es ist eine mathematische definition von kurven, flächen und volumenkörper.
NURBS haben sich zum industriestandard für das entwerfen und modellieren von kurven und flächen entwickelt. Sie eignen sich besonders zum modellieren von flächen mit komplizierten kurven.
Non-Uniform (nicht gleichmäßig) bedeutet, daß der einflußbereich eines steuerscheitelpunkts variieren kann. Dies ist besonders beim modellieren unregelmäßiger flächen nützlich.
Rational bedeutet, daß die zum darstellen der kurve oder fläche verwendete gleichung als verhältnis von zwei polynomen und nicht durch ein einzelnes summenpolynom ausgedrückt wird. Die rationale gleichung bietet ein besseres modell einiger wichtiger kurven und flächen, vor allem konischer querschnitte, kegel, kugeln, usw.
Die mathematischen grundlagen von NURBS sind recht kompliziert; in diesem abschnitt werden deshalb lediglich einige NURBS-konzepte beschreibend vorgestellt, die Ihnen beim verständnis der von Ihnen erstellten objekte helfen und erklären sollen, warum sich NURBS-objekte so und nicht anders verhalten.
Für die hilfsmittel zum modellieren mit NURBS benötigen Sie keine kenntnisse der mathematischen konzepte, mit denen diese objekte erzeugt werden. NURBS sind gerade deshalb beliebt, weil sie auf einfache weise interaktiv manipuliert werden können und weil die algorithmen, die sie erstellen, sowohl effektiv als auch numerisch stabil sind.


Inhalt	NURBS
Splines	Ein spline ist eine geglättete kurve, die durch ihre kontrollpunkte (poles, steuerpunkte, steuerscheitelpunkte, CV = Control Vertex, mz. Vertices) definiert ist und die zusätzlich eingeschränkt werden kann. Splines haben eine richtung, dh einen anfang und ein ende. Diese lassen sich umkehren. Ein B-spline (Basis-spline) ist eine kurve, die aus mehreren segmenten besteht und durch punkte bestimmt wird. Man könnte ein spline als eine aneinanderreihung von Bézierkurven betrachten und die Bézierkurve als spezielle form einer B-spline. Ein B-spline ist eine möglichkeit, eine zwischen drei oder mehr punkten interpolierte kurve zu erstellen. B-spline ist ein spline-typ, der von sogenannten basisfunktionen generiert wird. Die eigenheit von B-splines liegt darin, daß sich die kontrollpunkte eines B-splines nur auf ihren lokalen bereich der kurve oder fläche auswirken. Bézier-kurven wurden von P. Bézier für die computergestützte modellierung im automobildesign entwickelt. Sie sind ein spezielle version von B-splines. Eine Bézier-kurve ist ein basis-spline, das aus einem segment besteht und über zwei kontrollpunkte gesteurt wird. Bézierpunkte haben anfasser, die sich symmetrisch oder einzeln durch klicken und ziehen des 'anfassers' beeinflussen lassen: Die länge des anfassers beeinflusst die kraft und die stellung des anfassers die richtung der tangentialen einflusses. NURBS ist ein akronym für Non-Uniform Rational Basis-Splines, d.h. nicht gleichförmige rationale B-splines. Es ist eine mathematische definition von kurven, flächen und volumenkörper. NURBS haben sich zum industriestandard für das entwerfen und modellieren von kurven und flächen entwickelt. Sie eignen sich besonders zum modellieren von flächen mit komplizierten kurven. Non-Uniform (nicht gleichmäßig) bedeutet, daß der einflußbereich eines steuerscheitelpunkts variieren kann. Dies ist besonders beim modellieren unregelmäßiger flächen nützlich. Rational bedeutet, daß die zum darstellen der kurve oder fläche verwendete gleichung als verhältnis von zwei polynomen und nicht durch ein einzelnes summenpolynom ausgedrückt wird. Die rationale gleichung bietet ein besseres modell einiger wichtiger kurven und flächen, vor allem konischer querschnitte, kegel, kugeln, usw. Die mathematischen grundlagen von NURBS sind recht kompliziert; in diesem abschnitt werden deshalb lediglich einige NURBS-konzepte beschreibend vorgestellt, die Ihnen beim verständnis der von Ihnen erstellten objekte helfen und erklären sollen, warum sich NURBS-objekte so und nicht anders verhalten. Für die hilfsmittel zum modellieren mit NURBS benötigen Sie keine kenntnisse der mathematischen konzepte, mit denen diese objekte erzeugt werden. NURBS sind gerade deshalb beliebt, weil sie auf einfache weise interaktiv manipuliert werden können und weil die algorithmen, die sie erstellen, sowohl effektiv als auch numerisch stabil sind.	Für mathematisch interessierte: NURBS -Definition NURBS und VRML NURBS - Toolbox Eine umfassende Beschreibung der Mathematik und Algorithmen zur NURBS-Modellierung finden Sie in folgenden werken: „The NURBS Book” Les Piegl und Wayne Tiller New York: Springer, zweite Auflage 1997 Rogers and Adams Mathematical Elements For Computer Graphics, McGraw Hill, 1976 Gerald Farin Curves and Surfaces For Computer-Aided Geometric Design,Academic Press, 1988 de Boor A Practical Guide To Splines Springer-Verlag, 1978
Nurbs	Es gibt zwei arten von NURBS-kurven, -flächen: Punktkurven,-flächen sind NURBS-objekte, deren punkte so eingeschränkt wurden, daß sie auf der kurve oder fläche liegen (Rhino: Bearbeitungspunkte). Eine CV-Kurve, -fläche wird über steuerscheitelpunkte (CVs - Control Vertices) festgelegt, die nicht notwendigerweise auf der kurve, -fläche liegen müssen und auf einem steuergitter liegen. Drei dinge bestimmen die form einer NURBS-Kurve: Eine Liste von punkten namens kontrollpunkte oder steuerpunkte (CV= Control Vertex, Vertices). Ihnen kann eine wichtung zugeordnet werden (Mass des einflusses auf die kurve) oder bearbeitungspunkte (Punkte auf kurven oder flächen) sind auf die kurve oder die fläche eingeschränkte kontrollpunkte. Sie können nicht gewichtet werden. Der grad, die kontinuität und die einflußverstärkung gelten ebenso für NURBS-Flächen wie für Kurven. Eine Liste von zahlen namens knoten (oder: Parameterraum d.h. zahlen, keine punkte), die mit den CVs zusammenwirken und unsichtbar sind und von uns nicht beeinflusst werden können. Jegliche änderungen, die Sie an diesen drei dingen vornehmen, verändern die kurvenform.
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